Question

8．如图，把边长为4的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设CD与EF的交点为H，连接AH，利用“HL”求出Rt△ADH和Rt△AEH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAH=∠EAH，再求出∠DAH=30°，然后解直角三角形求出DH，再根据公共部分的面积=2S_△ADH列式计算即可得解．

解答 解：如图，

设CD与EF的交点为H，连接AH，
在Rt△ADH和Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AH}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADH≌Rt△AEH（HL），
∴∠DAH=∠EAH，
∵旋转角∠BAE=30°，
∴∠DAH=$\frac{1}{2}$（90°-30°）=30°，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴DH=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴公共部分的面积=2S_△ADH=2×$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形，作辅助线构造出全等三角形并求出三角形的锐角是30°是解题的关键．