Question

20．如图，正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{8}{x}$在第一象限交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0），过点C作CD⊥x轴于点D，使S_△CBD等于S_△AOB的$\frac{2}{3}$，求C点的坐标；
（3）在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0）是否存在点P，过点P作PM⊥x轴于点M，使△PBM与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{8}{x}$两个解析式组成方程组，解方程即可；
（2）设C点的坐标（x，$\frac{8}{x}$），分两种情况：①当C在点A的右侧时，由三角形的面积关系得出方程$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出结果；
②当点C在点A的左侧时，由三角形的面积关系得出方程$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出结果；
（3）设点P坐标为（a，$\frac{8}{a}$），分两种情况：①当$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$时，得出方程，解方程即可；②当$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$时，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
则A（2，4）；
（2）设C点的坐标（x，$\frac{8}{x}$），
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CD=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
分两种情况：
①当C在点A的右侧时，$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=6，
∴$\frac{8}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴C（6，$\frac{4}{3}$）；
②当点C在点A的左侧时，$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{8}{x}=\frac{20}{3}$，
∴C（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
综上所述：C点的坐标为（6，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
（3）存在点P，使△PBM与△AOB相似，点P的坐标为（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．理由如下：
设点P坐标为（a，$\frac{8}{a}$），
∵PM⊥x轴于点M，
∴PMB=90°=∠ABO，
∴分两种情况：
①当$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$时，$\frac{a-2}{4}=\frac{\frac{8}{a}}{2}$，
解得：a=1±$\sqrt{17}$（负值舍去），
∴a=$\sqrt{17}$+1，$\frac{8}{a}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，
∴P（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）；
②当$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$时，$\frac{a-2}{2}=\frac{\frac{8}{a}}{4}$，
解得：a=1±$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴a=$\sqrt{5}$+1，$\frac{8}{a}$=2$\sqrt{5}$-2，
∴P（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）；
综上所述：存在点P，使△PBM与△AOB相似，点P的坐标为（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了正比例函数和反比例函数解析式的运用、坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、相似三角形的判定、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，进行分类讨论是解决问题的关键．