Question

5．如图所示，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P不同于A、D），Q是BC边上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．设AP的长为x，则△PEF的面积y关于x的函数关系式是（　　）

• A． y=-$\frac{1}{3}$x²+x
• B． y=-$\frac{2}{3}$x²+2x
• C． y=-$\frac{1}{3}$x²+x+3
• D． y=-$\frac{2}{3}$x²+2x+6

Answer 1

分析 由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形PEQF}，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于y，x的函数关系式．

解答 解：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形PEQF}，
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{x}{3}$）²，$\frac{{S}_{△DPE}}{{S}_{△ADQ}}$=（$\frac{3-x}{3}$）²，
∵S_△AQD=$\frac{1}{2}$AD×AB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
得S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形PEQF}
=$\frac{1}{2}$（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=$\frac{1}{2}$×[3-（$\frac{x}{3}$）²×3-（$\frac{3-x}{3}$）²×3]
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+2x）
=-$\frac{1}{3}$x²+x，
即△PEF的面积y关于x的函数关系式是y=-$\frac{1}{3}$x²+x．
故选：A．

点评 此题考查相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽象出二次函数，利用平行得出相似三角形是解决问题的关键．