Question

8．点A是双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$；
（1）求两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC的面积；
（3）请结合图象直接写出当$\frac{k}{x}+x$+（k+1）＞0时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先设A点坐标为（x，y），则OB=-x，AB=y，根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（-x）•y=$\frac{3}{2}$，即xy=-3；再把A（x，y）代入反比例函数解析式中得到xy=k，则有k=-3，这样可确定两函数解析式；
（2）先利用直线y=-x+2确定D点坐标，再解有两个解析式所组成的方程组得到A点和C点坐标，然后利用S_△AOC=S_△AOD+S_△COD进行计算．
（3）根据函数的图象即可求得．

解答 解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$•|BO|•|BA|=$\frac{1}{2}$×（-x）•y=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-3，又∵$y=\frac{k}{x}$，
即xy=k，
∴k=-3，
∴所求的两个函数的解析式分别为y=-$\frac{3}{x}$，y=-x+2；
（2）由y=-x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=-x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
A、C两点坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$
∴交点A为（-1，3），C为（3，-1），
∴S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4；
（3）由图象可知：$\frac{k}{x}+x$+（k+1）＞0时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞3．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．