Question

3．如图，△ABC是正三角形，把△ABC绕点A沿逆时针方向旋转30°得到△AB′C′，边AB′交BC于点D，边B′C′交BC于点E、交AC于点F，其中AB=6
（1）指出图中的旋转角（写出一个即可）；
（2）判断△ABC′的形状，并求出BC′的长度．

Answer 1

分析 （1）由旋转的定义即可得出结果；
（2）由旋转的性质得出∠BAB′=∠CAC′=30°，AC′=AC，由正三角形的性质得出∠BAC=60°，AB=AC=6，得出AB=AC′=6，∠BAC′=90°，由勾股定理求出BC′的长度即可．

解答 （1）解：由题意得：图中的旋转角为∠BAB′；
（2）解：△ABC′是等腰直角三角形；理由如下：
由旋转的性质得：∠BAB′=∠CAC′=30°，AC′=AC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=6，
∴∠B′AC=60°-30°=30°，AB=AC′=6，
∴∠BAC′=90°，
即△ABC′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BC′=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
即BC′的长度为6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质、正三角形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．