Question

20．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=2cm，AE=1cm，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．
∴$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{AC}{\sqrt{5}}$．
解得AC=5．
∴⊙O的半径是2.5cm．

点评 本题考查圆的切线的判定、直径的性质、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键