Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2+2，D是BC边上异于点B，C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是_____.

Answer 1

【答案】9+4．

【解析】

如图所示：过点D2作D2E⊥BC，垂足为E．设DC=x，则BD=2+2-x．然后根据四边形D1BCD2的面积等于梯形D1BED2的面积减去三角形CED2的面积列函数关系是求解即可．

如图所示：过点D2作D2E⊥BC，垂足为E．

设DC=x，则BD=2+2-x．

由翻折的性质可知：∠D1BD=90°，∠ECD2=60°，D1B=BD=2+2-x，CD2=DC=x．

∵在Rt△CED2中，∠ECD2=60°

∴EC=x，D2E=x．

∴SD1BCD2=SD1BED2-S△CED2

=（D1B+D2E）BE-×CE×ED2

=×（2+2-x+x）（2+2+x）-×x×x

=（x-2）2+9+4．

∴当x=2时，四边形D1BCD2的面积有最大值，最大值为9+4．

故答案为：9+4．