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【题目】如图①,RtABC中,∠ABC=90°,∠CAB的平分线交BC于点O,以O为圆心,OB长为半径作⊙O

1)求证:⊙OAC相切.

2)若AB=6AC=10

①求⊙O的半径;

②如图②,延长AO交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线,分别交ACAB的延长线于EF,试求EF的长.

【答案】1)见解析;(2)①;②

【解析】

1)根据角平分线的性质,可以证明本结论成立;

2)①根据切线的性质可知AB=AM,根据勾股定理可以求得BC的长,进而可以求得圆的半径的长;

②根据题意可以求得AD的长,然后根据三角形相似可以求得DF的长,由等腰三角形的性质可以求得EF的长.

1)证明:∵∠ABC=90°,∠CAB的平分线是AO

∴点OAB和到AC的距离相等,

∴点OAC的距离等于圆O的半径,

∴⊙OAC相切;

2)①作OMAC于点M,如图所示,

AB=6AC=10,∠ABC=90°

BC=8AB=AM=6

MC=4OC=8-OB

设圆O的半径是r

r2+42=8-r2

解得,r=3

即⊙O的半径是3

②∵AB=6BO=3,∠ABO=90°

AO=3

AD=3+3

ADEF

∴∠ADF=90°

∴∠ADF=ABO=90°

∵∠DAF=BAO

∴△DAF∽△BAO

解得,DF=

AD平分∠EAFADEF

EF=2DF=3+3

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②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上,到x轴的距离为d,当点R的坐标为 时,二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d;

③如图2,已知0<m<2,过点M(0,m)作x轴的平行线,分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧),过点H作x轴的垂线,垂足为点N,交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q,若△GHN∽△EHQ,求实数m的值.

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成绩()

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

人数

1

2

3

3

6

7

5

8

15

9

11

12

8

6

4

成绩分组

频数

频率(百分比)

35≤x<38

3

0.03

38≤x<41

a

0.12

41≤x<44

20

0.20

44≤x<47

35

0.35

47≤x≤50

30

b

请根据所提供的信息解答下列问题:

(1)频率统计表中a________b_______

(2)请补全频数分布直方图;

(3)请根据抽样统计结果,估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人?

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