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    12．如图，抛物线$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{10}{3}x$的图象与x轴交于A点，过A作BA⊥OA，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，使点A落在点C处，且tan∠COA=$\frac{4}{3}$．
    （1）求点A的坐标，并判断点C是否在该抛物线上？
    （2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，求点M到OC的最大距离；
    （3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOA？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）过点C作CD⊥x轴于点D，首先求出A点坐标，再利用勾股定理得出C点坐标，进而得出答案；
    （2）首先确定OC的解析式，进而确定平行于OC的直线解析式，然后联立解析式，得出关于m的方程，利用判别式为0求出m的值，再利用∠OCD的正弦求解，可得结论；
    （3）先得出与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，-2），进而直线AP的解析式，并与抛物线解析式联立，解方程组可得点P的坐标．

    解答 解：（1）如图所示：过点C作CD⊥x轴于点D，
    ∵抛物线$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{10}{3}x$的图象与x轴交于A点，
    ∴0=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{10}{3}$x，
    解得：x1=0，x2=5，
    ∴A（5，0），
    又∵tan∠COA=$\frac{4}{3}$，AC=AO=5，
    ∴DC=4，OD=3，
    ∴C（3，4），
    当x=3时，y=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{10}{3}$x=4，
    ∴点C在抛物线上；

    （2）∵C（3，4），
    ∴直线OC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
    设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+m，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
    消掉未知数y并整理得，2x2-6x+3m=0，
    △=（-6）2-24m=0，
    解得：m=$\frac{3}{2}$．
    设点M到OC的最大距离为x，
    ∵∠NOM=∠OCD，
    ∴sin∠OCD=sin∠NOM=$\frac{3}{5}$，
    则$\frac{x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
    解得：x=$\frac{9}{10}$；

    （3）∵∠OAP=∠BOA，
    ∴OP=OA，
    ∴与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，-2），
    当直线AP经过点（2$\sqrt{3}$，0）、（0，2）时，解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$．
    所以点P的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$），
    当直线AP经过点（2$\sqrt{3}$，0）、（0，-2）时，解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
    以点P的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
    综上所述，存在一点（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{7}{3}$），使∠OAP=∠BOA．

    点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了图形的翻折变换，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，直线与抛物线的交点的求法等知识，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．

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