Question

9．（1）如图（1），将△ABC纸片沿着DE对折，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，探索∠A，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），继续这样的操作，把△ABC纸片的三个角按（1）的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是360°．
（3）如果把n边形纸片也做类似的操作，n个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n的度数是360°（n-2）  （用含有n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；
（2）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和；
（3）利用（1）（2）的计算方法：类比得出答案即可．

解答 解：（1）连接AA′，

∵∠1=∠BAA′+∠AA′E，∠2=∠CAA′+∠AA′D，
∴∠1+∠2=∠BAA′+∠AA′E+∠CAA′+∠AA′D=∠BAC+∠DA′E，
又∵∠BAC=∠DA′E，
∴∠1+∠2=2∠BAC；
（2）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°；
（3）∠1+∠2+∠3+…+∠2n
=2（∠B+∠C+∠A）（n-2）
=360°（n-2）．

点评 本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，掌握折叠的性质是解决问题的关键．