Question

17．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，-3}、{-2，7，$\frac{3}{4}$，19}，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，2015-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合{2015，0}就是一个好的集合．
（1）集合{2015}不是好的集合，集合{-1，2016}是好的集合（两空均填“是”或“不是”）；
（2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（3）若一个好的集合所有元素之和为整数M，且22161＜M＜22170，则该集合共有几个元素？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据有理数a是集合的元素时，2015-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，从而可以可解答本题；
（2）根据2015-a，如果a的值越大，则2015-a的值越小，从而可以解答本题；
（3）根据题意可知好的集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2015，然后通过估算即可解答本题．

解答 解；（1）根据题意可得，2015-2015=0，而集合{2015}中没有元素0，故{2015}不是好的集合；
∵2015-（-1）=2016，2015-2016=-1，
∴集合{-1，2016}是好的集合．
故答案为：不是，是．
（2）一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是-1986．
∵2015-a中a的值越大，则2015-a的值越小，
∴一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：2015-4001=-1986．
（3）该集合共有22个元素．
理由：∵在好的集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2015-a，
∴好的集合中的元素一定是偶数个．
∵好的集合中的每一对对应元素的和为：a+2015-a=2015，2015×11=22165，2015×10=20150，2015×12=24180，
又∵一个好的集合所有元素之和为整数M，且22161＜M＜22170，
∴这个好的集合中的元素个数为：11×2=22个．

点评 本题考查探究性问题，关键是明确什么是好的集合，集合中的各个数都是元素，明确好的集合中的元素个数都是偶数个，在此还要应用到估算的知识．