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【题目】已知等腰RtABC和等腰RtAED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC

1)发现:如图1,当点EAB上且点C和点D重合时,若点MN分别是DBEC的中点,则MNEC的位置关系是   MNEC的数量关系是   

2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BDEC,并连接DBEC的中点MN,则MNEC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.

【答案】1;(2)成立,见解析.

【解析】

1)利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MNEC的位置关系和MNEC的数量关系;

2)首先得出△EDM≌△FBMSAS),进而求出△EAC≌△FBCSAS),即可得出∠ECF=FCB+BCE=ECA+BCE=90°,进而得出MNEC,再利用△EDM≌△FBMAAS),得出,MNEC的数量关系.

解:(1,理由如下:

∵当点EAB上且点C和点D重合时,点MN分别是DBEC的中点,

MN是三角形BED的中位线,

MNBEMN=BE

∵等腰RtABC和等腰RtAED中,∠ACB=AED=90°,且AD=AC

BE=EC,∠AED=90°

MNEC的位置关系是:MNECMNEC的数量关系是:MN=EC

故答案为:MNECMN=EC

2,理由如下:

如下图,连接EM并延长到F,使EM=MF,连接CMCFBF

BM=MD,∠EMD=BMF

∴△EDM≌△FBMSAS),

BF=DE=AE,∠FBM=EDM=135°

∴∠FBC=EAC=90°

ACBC

∴△EAC≌△FBCSAS),

FC=EC, FCB=ECA

∴∠ECF=FCB+BCE =ECA+BCE=90°

又点MN分别是EFEC的中点

MNFC

MNEC

再如下图所示,连接EM并延长交BCF

∵∠AED=ACB=90°

DEBC

∴∠DEM=BFM,∠EDM=MBF

在△EDM和△FBM中,

∴△EDM≌△FBMAAS),

BF=DE=AEEM=FM

.

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2)如图2,当⊙O与边BC相切时,切点为点N,试求⊙OABC重合部分的面积;

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A. B. C. D.

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