【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC
(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是 ,MN与EC的数量关系是
(2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.
【答案】(1);(2)成立,见解析.
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系;
(2)首先得出△EDM≌△FBM(SAS),进而求出△EAC≌△FBC(SAS),即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°,进而得出MN⊥EC,再利用△EDM≌△FBM(AAS),得出,MN与EC的数量关系.
解:(1),理由如下:
∵当点E在AB上且点C和点D重合时,点M、N分别是DB、EC的中点,
∴MN是三角形BED的中位线,
∴MN∥BE,MN=BE,
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC,
∴BE=EC,∠AED=90°,
∴MN与EC的位置关系是:MN⊥EC,MN与EC的数量关系是:MN=EC,
故答案为:MN⊥EC,MN=EC;
(2),理由如下:
如下图,连接EM并延长到F,使EM=MF,连接CM、CF、BF,
∵BM=MD,∠EMD=∠BMF,
∴△EDM≌△FBM(SAS),
∴BF=DE=AE,∠FBM=∠EDM=135°,
∴∠FBC=∠EAC=90°,
而AC=BC,
∴△EAC≌△FBC(SAS),
∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA,
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°
又点M、N分别是EF、EC的中点
∴MN∥FC,
∴MN⊥EC,
再如下图所示,连接EM并延长交BC于F,
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠BFM,∠EDM=∠MBF,
在△EDM和△FBM中,
,
∴△EDM≌△FBM(AAS),
∴BF=DE=AE,EM=FM,
∴.
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【题目】在△ABC中,AC=5,AB=7,BC=4,点D在边AB上,且AD=3,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,以PD为边向上作正方形PDMN,设点P运动的时间为t,正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)用含有t的代数式表示线段PD的长
(2)当点N落在△ABC的边上时,求t的值
(3)求S与t的函数关系式
(4)当点P在线段AD上运动时,作点N关于CD的对称点N′,当N′与△ABC的某一个顶点所连的直线平分△ABC的面积时,求t的值.
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,其中正确的结论的个数是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形.是否存在点P,使四边形为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=2,点O是边AB上的一个动点,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,与边AC交于点M.
(1)如图1,当⊙O经过点C时,⊙O的直径是 ;
(2)如图2,当⊙O与边BC相切时,切点为点N,试求⊙O与△ABC重合部分的面积;
(3)如图3,当⊙O与边BC相交时,交点为E、F,设CM=x,就判断AEAF是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请用含x的代数式表示.
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【题目】如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正东方向,有一艘小船停在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向,BP=6km.
(1)求A、B两观测站之间的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向前行,求观测站B与小船的最短距离.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+1交y轴于点A1,点A2,A3,…,An在直线l上,点B1,B2,B3,…,Bn在x轴的正半轴上,若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn﹣1Bn依次均为等腰直角三角形,则点B1的坐标是_____;点Bn的坐标是_____.
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【题目】如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四边形DEFG为矩形,DE=2cm,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上,点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
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