【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+1交y轴于点A1,点A2,A3,…,An在直线l上,点B1,B2,B3,…,Bn在x轴的正半轴上,若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn﹣1Bn依次均为等腰直角三角形,则点B1的坐标是_____;点Bn的坐标是_____.
【答案】(1,0) (2n﹣1,0)
【解析】
首先求得点A与A1的坐标,由△OA1B1是等腰直角三角形可求得B1(1,0),继而可得A2B1 =2,再由△A2B1B2是等腰直角三角形可求得B2(3,0),B3(7,0)…,通过分析即可求得答案.
如图,y=x+1与x轴交于点A(-1,0),与y轴交点A1(0,1),
则OA=OA1=1,
∵△OA1B1是等腰直角三角形,
∴OB1=OA1=1,
∴B1(1,0),
∴当x=1时,y=x+1=2,
∴A2B1 =2,
∵△A2B1B2是等腰直角三角形,
∴B1B2=B1A2=2,
∴B2(3,0),
同理B3(7,0)…,
∵B1的横坐标为1=21﹣1,
B2的横坐标为3=22﹣1,
B3的横坐标为7=23﹣1,
…
∴Bn的横坐标为2n﹣1,
∴Bn(2n﹣1,0),
故答案为:(1,0);(2n﹣1,0);
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【题目】如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,点M在PB上,且OM∥AP,MN⊥AP,垂足为N.
(1)求证:OM = AN;
(2)若⊙O的半径R = 3,PA = 9,求OM的长.
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【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC
(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是 ,MN与EC的数量关系是
(2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,直线l1∥l2∥l3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,则的值为_____.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求出抛物线的函数表达式;
(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若S1:S2=36:25,求m的值;
(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为30°,连接E'A、E'B,在坐标平面内找一点Q,使△AOE′~△BOQ,并求出Q的坐标.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(a≠0)的图象在第一象限交于A、B两点,A点的坐标为(m,4),B点的坐标为(3,2),连接OA、OB,过B作BD⊥y轴,垂足为D,交OA于C.若OC=CA,
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在直线BD上是否存在一点E,使得△AOE是直角三角形,求出所有可能的E点坐标.
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【题目】△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于D,交BC于E(BE>EC),过点D作⊙O的切线DF,交AB的延长线于F.
(1)求证:DF∥BC;
(2)连接OF,若tan∠BAC=,BD=,DF=8,求OF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(4,3),点D是边OC上的一点,点E在直线OB上,连接DE、CE,则DE+CE的最小值为( )
A. 5B. +1C. 2D.
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【题目】开口向下的抛物线y=a(x+1)(x﹣4)与x轴的交点为A、B(A在B的左边),与y轴交于点C.连接AC、BC.
(1)若△ABC是直角三角形(图1),求二次函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k(k>0)个单位,使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,求k的值;
(3)当点C坐标为(0,4)时(图2),P、Q两点同时从C点出发,点P沿折线COB运动到点B,点Q沿抛物线(在第一象限的部分)运动到点B,若P、Q两点的运动速度相同,请问谁先到达点B?请说明理由.(参考数据:.6,)
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