Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求出抛物线的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E'A、E'B，在坐标平面内找一点Q，使△AOE′～△BOQ，并求出Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+x+6；（2）m＝4；（3）Q1（，），Q2（﹣，）．

【解析】

（1）把点A（8，0）代入抛物线解析式求解即得；

（2）易求得直线AB解析式为y＝x+6，再证明△ANE∽△PNM，由相似三角形的性质得，由E（m，0）（0＜m＜8）可得P（m，），N（m，m+6），然后用m的代数式表示出AN和PN，解方程即可；

（3）由题意可求得OQ的长，过点Q作QH⊥y轴于H，然后利用∠BOQ＝∠AOE′＝30°，可求得QH和OH的长，进一步即得结果.

解：（1）把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，解得a＝，

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x+6；

（2）如图1，在y＝x2+x+6中，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，

∴直线AB解析式为y＝x+6

∵PE⊥x轴，PM⊥AB

∴∠AEN＝∠PMN＝90°，

∵∠ANE＝∠PNM，∴△ANE∽△PNM.

∴，，

∵S1：S2＝36：25，

∴，

∴6AN＝5PN

∵E（m，0）（0＜m＜8），∴OE＝m，AE＝8﹣m，

∴P（m，），N（m，m+6），

∴EN＝m+6，PN＝PE﹣EN＝﹣（m+6）＝+3m，

∵AB＝＝10

∴cos∠OAB＝，即，

∴AN＝（8﹣m），

∴6×（8﹣m）＝5×（+3m），解得：m1＝4，m2＝8（不符合题意，舍去），

∴m＝4；

（3）如图2，∵线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，

∴OE′＝OE＝4，∠AOE′＝30°

∵△AOE′∽△BOQ，

∴，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，

∴，即OQ＝3，

过点Q作QH⊥y轴于H，

∴QH＝OQ＝，OH＝，

∴当点Q在y轴右侧时，Q1（，），

当点Q在y轴左侧时，Q2（﹣，）．

综上所述，Q的坐标为：Q1（，），Q2（﹣，）．