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【题目】开口向下的抛物线yax+1)(x4)与x轴的交点为ABAB的左边),与y轴交于点C.连接ACBC

1)若△ABC是直角三角形(图1),求二次函数的解析式;

2)在(1)的条件下,将抛物线沿y轴的负半轴向下平移kk0)个单位,使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,求k的值;

3)当点C坐标为(04)时(图2),PQ两点同时从C点出发,点P沿折线COB运动到点B,点Q沿抛物线(在第一象限的部分)运动到点B,若PQ两点的运动速度相同,请问谁先到达点B?请说明理由.(参考数据:.6,

【答案】(1);(2);(3)点P先到达点B

【解析】

1)根据已知的抛物线解析式,可求得AB的坐标,在RtABC中,OCAB,利用射影定理的得到OC2=OAOB(或由相似三角形证得),即可得到OC的长,从而确定C点的坐标,将其代入抛物线的解析式中,即可确定a的值,从而求出该抛物线的解析式;
2)根据(1)所得抛物线的解析式,可求出其顶点坐标,由于函数图象的平移方法已经确定,即沿y轴负半轴向下平移,若抛物线与坐标轴只有两个交点,则有两种情况:
CO重合,此时抛物线向下平移了OC长个单位,
②抛物线的顶点落在x轴上,此时抛物线向下平移的单位长度与(1)的抛物线的顶点纵坐标相同,
综合上述两种情况,即可求得k的值;
3)当C04)时,可根据其坐标确定此时抛物线的解析式,进而求得其顶点D的坐标;P点的移动距离易求得(即OC+OB),而Q点的轨迹是一条曲线,无法直接求得,因此需要化曲为直,间接的和P点的移动距离进行比较;连接CDBD,根据BCD三点坐标,即可求得CDBD的长,从而确定BD+CDOC+OB的大小关系,显然Q点移动距离要大于CD+BD,这样就判断出PQ两点的路程谁大谁小,由于两点的速度相同,那么路程短的就先到达B点.

解:抛物线yax+1)(x4)与x轴的交点为A(﹣10)、B40).

1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB90°

由题意易得△ACO∽△COB

CO2

∵抛物线开口向下,

C02

C02)代入得:

0+1)(04a2

2)由可得:

抛物线的顶点为(),点C02),

当点C向下平移到原点时,

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,

k2

当顶点向下平移到x轴时,

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,

3)当点C为(04)时,抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x4),

抛物线的顶点为D

连接DCDB

D),B40),C04),

CD

DB

CD+DB2.7+6.759.45

CO+OB4+48

DB+DCCO+OB

由函数图象可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长

所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线COB的长度

所以点P先到达点B

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