【题目】开口向下的抛物线y=a(x+1)(x﹣4)与x轴的交点为A、B(A在B的左边),与y轴交于点C.连接AC、BC.
(1)若△ABC是直角三角形(图1),求二次函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k(k>0)个单位,使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,求k的值;
(3)当点C坐标为(0,4)时(图2),P、Q两点同时从C点出发,点P沿折线COB运动到点B,点Q沿抛物线(在第一象限的部分)运动到点B,若P、Q两点的运动速度相同,请问谁先到达点B?请说明理由.(参考数据:.6,)
【答案】(1);(2);(3)点P先到达点B.
【解析】
(1)根据已知的抛物线解析式,可求得A、B的坐标,在Rt△ABC中,OC⊥AB,利用射影定理的得到OC2=OAOB(或由相似三角形证得),即可得到OC的长,从而确定C点的坐标,将其代入抛物线的解析式中,即可确定a的值,从而求出该抛物线的解析式;
(2)根据(1)所得抛物线的解析式,可求出其顶点坐标,由于函数图象的平移方法已经确定,即沿y轴负半轴向下平移,若抛物线与坐标轴只有两个交点,则有两种情况:
①C、O重合,此时抛物线向下平移了OC长个单位,
②抛物线的顶点落在x轴上,此时抛物线向下平移的单位长度与(1)的抛物线的顶点纵坐标相同,
综合上述两种情况,即可求得k的值;
(3)当C(0,4)时,可根据其坐标确定此时抛物线的解析式,进而求得其顶点D的坐标;P点的移动距离易求得(即OC+OB),而Q点的轨迹是一条曲线,无法直接求得,因此需要化曲为直,间接的和P点的移动距离进行比较;连接CD、BD,根据B、C、D三点坐标,即可求得CD、BD的长,从而确定BD+CD同OC+OB的大小关系,显然Q点移动距离要大于CD+BD,这样就判断出P、Q两点的路程谁大谁小,由于两点的速度相同,那么路程短的就先到达B点.
解:抛物线y=a(x+1)(x﹣4)与x轴的交点为A(﹣1,0)、B(4,0).
(1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90°.
由题意易得△ACO∽△COB,
∴,
∴,
∴CO=2
∵抛物线开口向下,
∴C(0,2)
把C(0,2)代入得:
(0+1)(0﹣4)a=2,
∴;
(2)由可得:
抛物线的顶点为(,),点C(0,2),
当点C向下平移到原点时,
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,
∴k=2
当顶点向下平移到x轴时,
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点,
∴;
(3)当点C为(0,4)时,抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣4),
抛物线的顶点为D(,)
连接DC、DB
∵D(,),B(4,0),C(0,4),
∴CD=,
DB=;
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8,
∴DB+DC>CO+OB
由函数图象可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长
所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度
所以点P先到达点B.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+1交y轴于点A1,点A2,A3,…,An在直线l上,点B1,B2,B3,…,Bn在x轴的正半轴上,若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn﹣1Bn依次均为等腰直角三角形,则点B1的坐标是_____;点Bn的坐标是_____.
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【题目】如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四边形DEFG为矩形,DE=2cm,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上,点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
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【题目】某公园的人工湖边上有一座假山,假山顶上有一竖起的建筑物CD,高为10米,数学小组为了测量假山的高度DE,在公园找了一水平地面,在A处测得建筑物点D(即山顶)的仰角为35°,沿水平方向前进20米到达B点,测得建筑物顶部C点的仰角为45°,求假山的高度DE.(结果精确到1米,参考数据:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点.请完成如图所示的画图,要求:①仅用无刻度的直尺,②不写画法,保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一条长为的线段MN(M,N分别为格点)
(2)在图2中画出一个以格点为顶点,以AB为一边的正方形ABCD;
(3)在图3中,E,F分别为格点,画出线段EF的垂直平分线l.
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,点E是边BC的中点,AF∥ED,AE∥DF
(1)求证:四边形AEDF为菱形;
(2)试探究:当AB:BC= ,菱形AEDF为正方形?请说明理由.
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【题目】某品牌牛奶供应商提供A,B,C,D四种不同口味的牛奶供学生饮用.某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好,对全校订牛奶的学生进行了随机调查,并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.根据统计图的信息解决下列问题:
(1)本次调查的学生有多少人?
(2)补全上面的条形统计图;
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是_____;
(4)若该校有600名学生订了该品牌的牛奶,每名学生每天只订一盒牛奶,要使学生能喝到自己喜欢的牛奶,则该牛奶供应商送往该校的牛奶中,A,B口味的牛奶共约多少盒?
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【题目】如图,在∠MON中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OM于点A,交射线ON于点B,再分别以A,B为圆心,OA的长为半径作弧,两弧在∠MON的内部交于点C,作射线OC.若OA=5,AB=6,则点B到AC的距离为( )
A. 5 B. C. 4 D.
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【题目】如图,分别过反比例函数图象上的点P1(1,y1),P2(2,y2),…,Pn(n,Pn)….作x轴的垂线,垂足分别为A1,A2,…,An …,连接A1P2,A2P3,…,An﹣1Pn,…,再以A1P1,A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2,以A2P2,A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3,依此类推,则点Bn的纵坐标是______________.(结果用含n代数式表示)
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