Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF

（1）求证：四边形AEDF为菱形；

（2）试探究：当AB：BC＝　 ，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当AB：BC＝1：2，菱形AEDF为正方形．理由见解析.

【解析】

（1）先证明四边形AEDF为平行四边形，再证明△ABE≌△DCE得到EA=ED，从而可判断四边形AEDF为菱形；

（2）当AB：BC=1：2，则AB=BE，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，利用△ABE≌△DCE得到∠DEC=45°，所以∠AED=90°，根据根据正方形的判定方法可判断菱形AEDF为正方形．

（1）证明：∵AF∥ED，AE∥DF，

∴四边形AEDF为平行四边形，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∵点E是边BC的中点，

∴BE＝CE，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△DCE，

∴EA＝ED，

∴四边形AEDF为菱形；

（2）解：当AB：BC＝1：2，菱形AEDF为正方形．

理由如下：

∵AB：BC＝1：2，

而点E是边BC的中点，

∴AB＝BE，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴∠AEB＝45°，

∵△ABE≌△DCE，

∴∠DEC＝45°，

∴∠AED＝90°，

∵四边形AEDF为菱形，

∴菱形AEDF为正方形．

故答案为1：2．