【题目】如图:点P是四边形ABCD外接圆⊙O上的任意一点,且不与四边形顶点重合,若AD是⊙O的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC,若PA= ,求点A到PB和PC的距离之和AE+AF是多少?
【答案】
【解析】试题分析:
如图,连接BO、CO,由已知条件易证∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,从而可得∠APE=∠BPC=30°,∠APF=60°,结合AE⊥BP于点E,AF⊥PC于点F,在Rt△APE和Rt△AOF中,利用30°的锐角所对直角边是斜边的一半,和勾股定理可求得AE和AF的长,然后相加即可得到答案.
试题解析:
连接BO、CO,
∵AD是⊙O的直径,AB=BC=CD,
∴,
∴∠AOB =∠COB =∠COD= 60°
∴∠APB =∠CPB =30°
∴∠CPA =∠APB +∠CPB =60°
∴∠PAF =30°
∵AE⊥PB,AF⊥PC
∴AE= ,PF= ,
∴AF=,
∴AE+AF = .
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,点E是边BC的中点,AF∥ED,AE∥DF
(1)求证:四边形AEDF为菱形;
(2)试探究:当AB:BC= ,菱形AEDF为正方形?请说明理由.
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【题目】如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为___.
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【题目】正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1),△ABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:
(1)画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1;
(2) 将△A1B1C1沿y轴正方向平移5个单位得到△A2B2C2 ,画出△A2B2C2;
(3)若△ABC与△A2B2C2 绕点P旋转重合,则点P的坐标为 .
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【题目】如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠E=60°,AC=,求菱形ABCD的面积.
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【题目】已知,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)在原图上作DE∥AB交AC与点E,请直接写出另一个与△ABD相似的三角形,并求出DE的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N。
(1)求证:△ADM∽△BND;
(2)在∠EDF绕点D旋转的过程中:
①探究三条线段CD、CE、CF之间的数量关系,并说明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的长.
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【题目】已知:如图,直线y=x+b与x轴交于点A(2,0),P为y轴上B点下方一点,以AP为腰作等腰直角三角形APM,点M落在第四象限,若PB=m(m>0),用含m的代数式表示点M的坐标是( )
A.(m-2,m+4)B.(m+2,m+4)C.(m+2,-m-4)D.(m-2,-m-4)
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