Question

【题目】已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）试判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）等边三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根据SAS即可证明△ACD≌△BCE．
（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可．
（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．

（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED

=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°+∠BED
=∠CED+60°
=60°+60°
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°；

（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC，

又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．