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【题目】如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).

(1)∠PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示);

(2)当t为何值时,△PBE为等腰三角形?

(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.

【答案】145°,(tt);(2t4秒或()秒;(3POE周长是定值,该定值为8

【解析】试题分析:(1)易证△BAP≌△PQD,从而得到DQ=AP=t,从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标.

2)由于∠EBP=45°,故图1是以正方形为背景的一个基本图形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底边不定,故分三种情况讨论,借助于三角形全等及勾股定理进行求解,然后结合条件进行取舍,最终确定符合要求的t值.

3)由(2)已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8,从而解决问题.

试题解析:(1)如图1,由题可得:AP=OQ=1×t=t(秒)

∴AO=PQ

四边形OABC是正方形,∴AO=AB=BC=OC∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°

∵DP⊥BP∴∠BPD=90°∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ

∵AO=PQAO=AB∴AB=PQ

△BAP△PQD中,∵∠BAP=∠PQD∠BPA=∠PDQAB=PQ∴△BAP≌△PQDAAS),∴AP=QDBP=PD∵∠BPD=90°BP=PD∴∠PBD=∠PDB=45°∵AP=t∴DQ=tD坐标为(tt).

故答案为:45°,(tt).

2PB=PE,由△PAB≌△DQPPB=PD,显然PB≠PE这种情况应舍去.

EB=EP,则∠PBE=∠BPE=45°∴∠BEP=90°∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC

△POE△ECB中,∵∠PEO=∠EBC∠POE=∠ECBEP=BE∴△POE≌△ECBAAS),∴OE=CB=OCE与点C重合(EC=0),P与点O重合(PO=0).

B﹣44),∴AO=CO=4.此时t=AP=AO=4

BP=BE,在Rt△BAPRt△BCE中,∵BA=BCBP=BE∴Rt△BAP≌Rt△BCEHL),∴AP=CE

∵AP=t∴CE=t∴PO=EO=4﹣t

∵∠POE=90°PE==

延长OA到点F,使得AF=CE,连接BF,如图2所示.在△FAB△ECB中,∵AB=CB∠BAF=∠BCE=90°AF=CE∴△FAB≌△ECB∴FB=EB∠FBA=∠EBC

∵∠EBP=45°∠ABC=90°∴∠ABP+∠EBC=45°∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°∴∠FBP=∠EBP

△FBP△EBP中,

∴△FBP≌△EBPSAS),FP=EPEP=FP=FA+AP=CE+APEP=t+t=2t=2t.解得:t=t4秒或()秒时,PBE为等腰三角形.

3∵EP=CE+AP∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8∴△POE周长是定值,该定值为8

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