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【题目】在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.

(1)如图1,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;

(2)如图2,D为上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小.

【答案】(1) ∠P=36°;(2) ∠P=30°.

【解析】

(1)连接OC,首先根据切线的性质得到∠OCP=90°,利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°,然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案;

(2)根据EAC的中点得到OD⊥AC,从而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°,然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°,最后利用三角形的外角的性质求解即可.

(1)如图,连接OC,∵⊙O与PC相切于点C,∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,

∵∠CAB=27°,∴∠COB=2∠CAB=54°,

在Rt△AOE中,∠P+∠COP=90°,∴∠P=90°﹣∠COP=36°;

(2)∵E为AC的中点,∴OD⊥AC,即∠AEO=90°,

在Rt△AOE中,由∠EAO=10°,得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°,∴∠ACD=∠AOD=40°,

∵∠ACD是△ACP的一个外角,∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°.

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品名

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