Question

【题目】如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．

（1）试说明 DF 是⊙O 的切线；

（2）①当∠C= °时，四边形 AODF 为矩形；

②当 tanC= 时，AC=3AE．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①45°；②

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可证∠ODB=∠C，从而OD//AC，可证OD⊥DF，即可解决问题；

（2）①当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论；

②直接利用锐角三角函数关系得出BC的长，再利用直角三角形的性质得出DE的长．

解：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD//AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

（2）45°，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，

∴∠BAC=90°，

∵∠ODF=∠AFD=90°，

∴四边形AODF为矩形；

（3），理由如下，

连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE2=AB2－AE2 =8AE2，

即BE=AE，

在Rt△BEC中，tanC=．

故答案为：．