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【题目】已知:在平面直角坐标系中,抛物线yax22ax+4a0)交x轴于点AB,与y轴交于点CAB6

1)如图1,求抛物线的解析式;

2)如图2,点R为第一象限的抛物线上一点,分别连接RBRC,设△RBC的面积为s,点R的横坐标为t,求st的函数关系式;

3)在(2)的条件下,如图3,点Dx轴的负半轴上,点Fy轴的正半轴上,点EOB上一点,点P为第一象限内一点,连接PDEFPDOC于点GDGEFPD⊥EF,连接PE∠PEF2∠PDE,连接PBPC,过点RRT⊥OB于点T,交PC于点S,若点PBT的垂直平分线上,OBTS,求点R的坐标.

【答案】1y=﹣x2+x+4;(2s=t2+4t;(3)当a1时,R24),当a时,R).

【解析】

1)由题意可求A-20),B40),将A点代入y=ax2-2ax+4,即可求a的值;

2)设Rt,﹣t2+t+4),过点Rxy轴的垂线,垂足分别为R'R',可得四边形RR'OR'是矩形,求出SOCROCRR'×4t2tSORBOBRR'×4(﹣t2+t+4)=﹣t2+2t+8,则有SRBCSORB+SOCRSOBC=﹣t2+2t+8+2t×4×4=﹣t2+4t

3)设EFPD交于点G',连EG,可证明OPEG的垂直平分线,过PKP⊥x轴于KPW⊥y轴于W,交RT于点H,则四边形PWOK是正方形,设OT2a,则TKKBCW2aHTOKPW2+a,可求HSTSHT﹣(2+a)=a,又由tan∠HPS,可得,则a1a,即可求R得坐标.

解:(1抛物线的对称轴为x1AB6

∴A(﹣20),B40),

将点A代入yax22ax+4,则有04a+4a+4

∴a=﹣

∴y=﹣x2+x+4

2

Rt,﹣t2+t+4),

过点Rxy轴的垂线,垂足分别为R'R'

∠RR'O∠RR'O∠R'OR'90°

四边形RR'OR'是矩形,

∴RR'OR'tOR'RR'=﹣t2+t+4

∴SOCROCRR'×4t2t

SORBOBRR'×4(﹣t2+t+4)=﹣t2+2t+8

∴SRBCSORB+SOCRSOBC=﹣t2+2t+8+2t×4×4=﹣t2+4t

3

EFPD交于点G',连EG

∵PD⊥EF

∴∠FG'G∠DG'E90°∠DOG

∴∠OFE∠GDO

∵∠DGO∠FOE90°EFDG

∴OPEG的垂直平分线,

∴OP平分∠COB

PKP⊥x轴于KPW⊥y轴于W,交RT于点H

PWPK∠PWO∠PKO∠WOK90°

四边形PWOK是正方形,

∴WOOK

∵OCOB4

∴CWKB

∵PBT垂直平分线上,

∴PTPB

∴TKKBCW

OT2a,则TKKBCW2a

HTOKPW2+a

∵OBTS

∴HSTSHT﹣(2+a)=a

∵tan∠HPS

∴a1a

a1时,OT2∴R24),

a时,OT,∴R

综上,点R的坐标是(24),().

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