Question

5．如图，以△ABC的BC边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=4，EF=3，求sin∠C的值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线；证明∠OAC=90°，即可解决问题；
（2）在Rt△OAC中，根据勾股定理求出AC=FC的长，即可得OC，再由正弦定义可得结果．

解答 （1）证明：如图，连接OA、OD．

∵OA=OD，AC=FC∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠AFC=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAD=∠ODA+∠OFD，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
又∵OA是⊙0的半径，
∴AC是⊙0的切线．
（2）解：∵圆的半径R=4，EF=3∴OF=1，
在Rt△OAC中，设AC=x，则AC=FC=x，OC=x+1，
∴OC²=OA²+AC²即（x+1）²=16+x²
解得：$x=\frac{15}{2}$，
∴sin∠C=$\frac{OA}{OC}=\frac{4}{1+\frac{15}{2}}=\frac{8}{17}$．

点评 本题题主要考查圆的切线的判定、勾股定理、正弦函数等几何知识点及其应用问题，解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定是关键．