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【题目】如图,MON0α90°),AOM上一点(不与O重合),点A关于直线ON的对称点为BABON交于点CP为直线ON上一点(不与OC重合)将射线PB绕点P顺时针旋转β角,其中2α+β=180°,所得到的射线与直线OM交于点Q这个问题中,点的位置和角的大小都不确定,在这里我们仅研究两种特殊情况,一般的情况留给同学们深入探索.

1)如图1,当α=45°时,此时β=90°,若点P在线段OC的延长线上.

依题意补全图形;

PQAPBA的值;

2)如图2,当α=60°,点P在线段CO的延长线上时,用等式表示线段OCOPAQ之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)①见解析;②45°;(2)AQ=4OC+OP,理由见解析.

【解析】

1)①依据题意可得图形;

②通过轴对称的性质,旋转的性质,可求ABOPBPPQ,可得∠PBA=OPQ,即可求∠PQA﹣∠PBA的值;

2)在OQ上截取OD=OP,连接BOPDBQ,由题意可得∠BON=MON=POQ=60°,∠BPQ=β=180°﹣2α=60°,可证点B,点Q,点P,点O四点共圆,可得∠PBQ=POQ=60°,∠PBO=OQP,由“AAS”可证△BOP≌△QDP,可得DQ=OB=OA=2OC,即可求线段OCOPAQ之间的数量关系.

1)①

②∵点A,点B关于ON对称,∴ABON,∴∠PBA+BPC=90°.

∵∠BPQ=90°,∴∠BPC+OPQ=90°,∴∠OPQ=PBA

∵∠PQA=O+OPQ,∴∠PQA=O+PBA,∴∠PQA﹣∠PBA=O=45°.

2AQ=4OC+OP.理由如下:

OQ上截取OD=OP,连接BOPDBQ

∵∠MON=α=60°,且点A关于直线ON的对称点为B,∴∠BON=MON=POQ=60°,AO=BOCOAB,∴∠BOQ=60°,∠CAO=30°,∴AO=2CO

∵旋转,∴∠BPQ=β=180°﹣2α=60°,∴∠BOQ=BPQ=60°,∴点B,点Q,点P,点O四点共圆,∴∠PBQ=POQ=60°,∠PBO=OQP,∴△PBQ是等边三角形,∴PB=PQ

OD=OP,∠QOP=60°,∴△ODP是等边三角形,∴∠ODP=DOP=60°,∴∠BOP=PDQ=120°,且BP=PQ,∠OBP=OQP,∴△BOP≌△QDPAAS),∴DQ=OB,∴DQ=OA=2OC,∴AQ=AO+OQ=2CO+OD+PQ=4OC+OP

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