Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接CE、DF，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H。

（1）求证：CE⊥DF；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）运用△BCE≌Rt△CDF（SAS），再利用角的关系求得∠CKD=90°即可解题．

（2）设正方形ABCD的边长为2a，设CH=x，利用勾股定理求出a与x之间的关系即可解决问题．

（1）证明：设EC交DF于K．

∵E，F分别是正方形ABCD边AB，BC的中点，

∴CF=BE，

在Rt△BCE和Rt△CDF中，

，

∴△BCE≌Rt△CDF（SAS），

∠BCE=∠CDF，

又∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠CDF+∠ECD=90°，

∴∠CKD=90°，

∴CE⊥DF．

（2）解：设正方形ABCD的边长为2a．

EB=EG，∠BEC=∠CEG，∠EGC=∠B=90°

∵CD∥AB，

∴∠ECH=∠BEC，∴∠ECH=∠CEH，

∴EH=CH，

∵BE=EG=a，CD=CG=2a，

在Rt△CGH中，设CH=x，

∴x2=（x-a）2+（2a）2，

∴x=a，

∴GH=EH-EG=a-a=a，

∴．