Question

【题目】（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量x在范围内时，函数值y满足．那么我们称b-a为这段函数图象的横宽，称d-c为这段函数图象的纵高．纵高与横宽的比值记为k即：．

（示例）如图1，当时；函数值y满足，那么该段函数图象的横宽为2-（-1）=3，纵高为4-1=3．则．

（应用）（1）当时，函数的图象横宽为 ，纵高为 ；

（2）已知反比例函数，当点M(3，4)和点N在该函数图象上，且MN段函数图象的纵高为2时，求k的值．

（3）已知二次函数的图象与x轴交于A点，B点．

①若m=1，是否存在这样的抛物线段，当()时，函数值满足若存在，请求出这段函数图象的k值；若不存在，请说明理由．

②如图2，若点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，为半径作圆，当AB段函数图象的k=1时，抛物线顶点恰好落在上，请直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）2，4；（2），2；（3）①存在，k=3；② 或或

【解析】

（1）当时，函数的函数值y满足

从而可以得出横宽和纵高；

（2）由题中MN段函数图象的纵高为2，进而进行分类讨论N的y值为2以及6的情况，再根据题中对k值定义的公式进行计算即可；

（3）①先求出函数的解析式及对称轴及最大值，根据函数值满足确定b的取值范围，并判断此时函数的增减性，确定两个端点的坐标，代入函数解析式求解即可；

②先求出A、B的坐标及顶点坐标，根据k=1求出m的值，分两种情况讨论即可．

（1）当时，函数的函数值y满足，

从而可以得出横宽为，纵高为

故答案为：2，4；

（2）将M（3，4）代入，得n=12，

纵高为2，

令y=2，得x=6；令y=6，x=2，

，

.

（3）①存在，

，

解析式可化为，

当x=2时，y最大值为4，

，解得，

当时，图像在对称轴左侧，

y随x的增大而增大，

当x=a时，y=2a；当x=b时，y=3b，将分别代入函数解析式，

解得(舍)，(舍)，，

②，，，理由是：

A（0，0），B（4，0），顶点K（2，4m），

AB段函数图像的k=1，

，

m=1或-1，

二次函数为或，过顶点K和P点分别作x轴、y轴的垂线，交点为H.

i)若二次函数为，

如图1，设P的坐标为（x，x），则KH=，PH=，

在中，，

即

解得，

ii)若二次函数为，

如图2，设P的坐标为（x，x），则，

在中，

，解得x=-1，