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【题目】如下图1,将三角板放在正方形上,使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合,三角板的一边交于点.另一边交的延长线于点

1)观察猜想:线段与线段的数量关系是

2)探究证明:如图2,移动三角板,使顶点始终在正方形的对角线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:

3)拓展延伸:如图3,将(2)中的正方形改为矩形,且使三角板的一边经过点,其他条件不变,若,求的值.

【答案】(1);(2)成立,证明过程见解析;(3).

【解析】

1)利用三角形全等的判定定理与性质即可得;

2)如图(见解析),过点分别作,垂足分别为,证明方法与题(1)相同;

3)如图(见解析),过点分别作,垂足分别为,先同(2)求出,从而可证,由相似三角形的性质可得,再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出的值,即可得出答案.

1,理由如下:

由直角三角板和正方形的性质得

中,

2)成立,证明如下:

如图,过点分别作,垂足分别为,则四边形是矩形

由正方形对角线的性质得,的角平分线

中,

3)如图,过点分别作,垂足分别为

同(2)可知,

由长方形性质得:

,即

中,

.

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