Question

12．一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．一个二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，一次函数y=x-3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B；可令y=0，得x=3，得到A的坐标；令x=0，得y=-3，得到点B的坐标；
（2）二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A，B；由（1）求得的A、B的坐标，用待定系数法可得二次函数的解析式，进而求出最小值．

解答 解：（1）令y=0，得x=3，
∴点A的坐标是（3，0），
令x=0，得y=-3，
∴点B的坐标是（0，-3）．

（2）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数y=x²+bx+c的解析式是y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函数y=x²-2x-3的最小值为-4．

点评 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．