Question

2．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA

模型应用：如图2，已知直线l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4与y轴交与A点，将直线l₁绕着A点顺时针旋转45°至l₂．
（1）在直线l₂上求点C，使△ABC为直角三角形；
（2）求l₂的函数解析式；
（3）在直线l₁、l₂分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线l₂的函数解析式即可；
（3）设Q₁的横坐标为x，则Q₁（x，$\frac{1}{7}$x+4），P（x，$\frac{4}{3}$x+4），先求得OA的长，根据平行四边形的性质得出$\frac{1}{7}$x+4-（$\frac{4}{3}$x+4）=4，求得x=-$\frac{84}{25}$，从而求得Q₁的坐标，根据AQ₁=OP=AQ₂，求得Q₂的横坐标为$\frac{84}{25}$，即可求得Q₂（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．

解答 （1）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l₂于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
∵△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴A（0，4），B（-3，0），
∴BD=AO=4．CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3）；

（2）设l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，4），C（-7，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-7k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴l₂的解析式：y=$\frac{1}{7}$x+4；

（3）如图2，①当AO为边时，
∵A（0，4），
∴OA=4，设Q₁的横坐标为x，
则Q₁（x，$\frac{1}{7}$x+4），P（x，$\frac{4}{3}$x+4），
∵四边形AOPQ是平行四边形，
∴PQ₁=OA=4，
即$\frac{1}{7}$x+4-（$\frac{4}{3}$x+4）=4，或$\frac{4}{3}$x+4-（$\frac{1}{7}$x+4）=4，
解得x=-$\frac{84}{25}$或$\frac{84}{25}$
∴Q₁（-$\frac{84}{25}$，$\frac{88}{25}$）或（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．
②当AO为对角线时，作OQ₂∥AB，
直线OQ₂解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{1}{7}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=\frac{112}{25}}\end{array}\right.$，
∴Q₂（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．
综上，存在符合条件的平行四边形，且Q点的坐标为（-$\frac{84}{25}$，$\frac{88}{25}$）或（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、平行四边形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．