Question

19．验证：$2\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$．
验证：2$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{{2}^{2}}$×$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{2}×2}{3}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{3}}{3}}$=$\sqrt{\frac{（{2}^{3}-2）+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{3}-2}{{2}^{2}-1}+\frac{2}{{2}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{2（{2}^{2}-1）}{{2}^{2}-1}+\frac{2}{{2}^{2}-1}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$．
请你模仿上面等式的验证方法验证：3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$．
验证：
同理可得：4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$，…
请用含有自然数n（n＞1）的等式表示上述等式的规律．

Answer 1

分析 根据已知结合二次根式的性质化简求出，进而得出数字之间规律进而得出得出答案即可．

解答 解：3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{{3}^{2}×\frac{3}{8}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{3}}{8}}$=$\sqrt{\frac{（{3}^{3}-3）+3}{8}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{3}-3}{{3}^{2}-1}+\frac{3}{{3}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{3（{3}^{2}-1）}{{3}^{2}-1}+\frac{3}{{3}^{2}-1}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，
4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；
含有自然数n（n＞1）的等式表示上述等式的规律：n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
故答案为：$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出数字变化规律是解题关键．