Question

14、已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C₁的顶点坐标；
（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（-3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．
（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）²+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；
（3）由于图象C₁的对称轴为x=-1，所以知道当x≥-1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．

解答：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点坐标为（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
综上所述：n＞2或n＜-4．

点评：此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性．