Question

直线AB：y=-x+b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．
（1）求点B的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）直线EF的解析式为y=x，直线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：S_△EBO=S_△FBO．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）先把A点坐标代入y=-x+b求出b=6，得到直线AB的解析式为y=-x+6，然后求自变量为0时的函数值即可得到点B的坐标；
（2）利用OB：OC=3：1得到OC=2，C点坐标为（-2，0），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（3）根据两直线相交的问题，通过解方程组

y=x y=-x+6

得E（3，3），解方程组

y=x y=3x+6

得F（-3，-3），然后根据三角形面积公式可计算出S_△EBO=9，S_△FBO=9，S_△EBO=S_△FBO．

解答：（1）解：把A（6，0）代入y=-x+b得-6+b=0，解得b=6，
所以直线AB的解析式为y=-x+6，
当x=0时，y=-x+6=6，
所以点B的坐标为（0，6）；
（2）解：∵OB：OC=3：1，而OB=6，
∴OC=2，
∴C点坐标为（-2，0），
设直线BCy=mx+n，
把B（0，6），C（-2，0）分别代入得

n=6 -2m+n=0

，解得

m=3 n=6

，
∴直线BC的解析式为y=3x+6；
（3）证明：解方程组

y=x y=-x+6

得

x=3 y=3

，则E（3，3），
解方程组

y=x y=3x+6

得

x=-3 y=-3

，则F（-3，-3），
所以S_△EBO=

1

2

×6×3=9，
S_△FBO=

1

2

×6×3=9，
所以S_△EBO=S_△FBO．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．