【题目】如图,抛物线与坐标轴分别交于A,B,C,点D在x轴上,AC=CD,过点D作DE⊥x轴交抛物线于点E,点P,Q分别是线段CO,CD上的动点,且CP=QD.记△APC的面积为S1,△PCQ的面积为S2,△QED的面积为S3,
(1)若S1+S3=4S2 ,求Q点坐标;
(2)连结AQ,求AP+AQ的最小值;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求出A,C的坐标,作QN∥OD,根据等腰三角形的性质得出D(3,0),进而求得E(3,5),根据勾股定理求得CD=5,设PC=QD=x,由△NQC∽△ODC的性质得出NQ=,根据S1+S3=4S2,列出关于x的方程,即可求得x的值,进而求得NQ和ON,就求得Q点的坐标;
(2)连接AE,先证明△ACP≌△EQD,则AP=EQ,所以AP+AQ=EQ+AQ,利用三角形三边的关系得到EQ+AQ≥AE(当且仅当点A、Q、E共线时取等号),然后计算出AE即可.
(1)令=0
解得x1=-3,x2=8
∴A(-3,0),B(8,0)
令x=0,得y=4
∴C(0,4),
∵AC=CD,CO⊥AD,
∴OD=OA=3,
∴D(3,0),
∴E点的横坐标为3,
把x=3代入得,y=5,
∴E(3,5),
∵OD=3,OC=4,
∴CD=5,
设PC=QD=x,
作QN∥OD,交OC于N,
∴△NQC∽△ODC,
∴,即
,
∴NQ=,
∵S1+S3=4S2,
∴x3+
×5[3
]=4
x
解得x=,
∴QD=,
∵,
∴,
∴NQ=,CN=2,
∴ON=42=2,
∴Q(,2);
(2)连接AE,
∵AC=CD,CO⊥AD,
∴OC平分∠ACD,
∴∠ACO=∠DCO,
∵ED∥OC,
∴∠DCO=∠CDE,
∵DE=CD=AC=5,CP=QD,
∴△ACP≌△EDQ,
∴AP=EQ,
∴AP+AQ=EQ+AQ,
而EQ+AQ≥AE(当且仅当点A、Q、E共线时取等号),
∴EQ+AQ的最小值==
=
,
∴AQ+AP的最小值为.
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【题目】如图,已知,
,连接
,过
点作
的垂线段
,使
,连接
.
(1)如图1,求点坐标;
(2)如图2,若点从
点出发沿
轴向左平移,连接
,作等腰直角
,连接
,当点
在线段
上,求证:
;
(3)在(2)的条件下若、
、
三点共线,求此时
的度数及
点坐标.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)请画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于原点对称;
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2B2C2,并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积.
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【题目】如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
(1)求A、B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知某种月饼形状的俯视图如图1所示,该形状由1个正六边形和6个半圆组成,半圆直径与正六边形的边长相等.
现商家设计了2种棱柱体包装盒,其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率=×100%)
(1)请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%);
(2)考虑到节约成本,商家希望底面利用率能够不低于80%,且底面图形仍然采用最基本的几何形状,请问商家的要求是否能够满足,若可以满足,请设计一种方案,并直接写出此时的利用率;若不能满足,请说明理由.
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【题目】现种植A、B、C三种树苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一种树苗,且每名工人每天可植A种树苗8棵;或植B种树苗6棵,或植C种树苗5棵.经过统计,在整个过程中,每棵树苗的种植成本如图所示.
设种植A种树苗的工人为x名,种植B种树苗的工人为y名.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若种植的总成本为5600元,从植树工人中随机采访一名工人,求采访到种植C种树苗工人的概率.
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【题目】已知正方形ABCD的对角线相交于O,点P在射线AO上,∠MPN=90°.
(1)如图1,当P与点O重合,M、N分别在AD、AB上,AM=2DM,则=__________;
(2)如图2,点P在CO上,AP=2CP,M为AD的中点,求的值.
(3)如图3,P在AC的延长线上,M为AD的中点,AP=nCP,则=____________(用含n的式子表示)
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【题目】如图,抛物线经过
的三个顶点,与
轴相交于
,点
坐标为
,点
是点
关于
轴的对称点,点
在
轴的正半轴上.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点为线段
上一动点,过点
作
轴,
轴, 垂足分别为点
,
,当四边形
为正方形时,求出点
的坐标;
(3)将(2) 中的正方形沿
向右平移,记平移中的正方形
为正方形
,当点
和点
重合时停止运动, 设平移的距离为
,正方形的边
与
交于点
,
所在的直线与
交于点
, 连接
,是否存在这样的
,使
是等腰三角形?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小明和小亮利用三张卡片做游戏,卡片上分别写有A,B,B.这些卡片除字母外完全相同,从中随机摸出一张,记下字母后放回,充分洗匀后,再从中摸出一张,如果两次摸到卡片字母相同则小明胜,否则小亮胜,这个游戏对双方公平吗?请说明现由.
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