【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:①AB=;②AF+BE=EF;③当点E与点B重合时,MH=;其中正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
由题意知,△ABC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形即可对①作出判断;如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,可得MG∥BC,四边形MGCB是矩形,进一步得到FG是△ACB的中位线,从而对③作出判断;如图2所示,SAS可证△ECF≌△ECD,根据全等三角形的性质和勾股定理即可对②作出判断,进而得到答案;
解:①由题意知,△ABC是等腰直角三角形,
∴,故①正确;
如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,
∴MB⊥BC,∠MBC=90°,
∵MG⊥AC,
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC,
∴MG∥BC,四边形MGCB是矩形,
∴MH=MB=CG,
∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,
∴CF=AF=BF,
∴FG是△ACB的中位线,
∴当点E与点B重合时,MH=,故③正确;
如图2所示,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠5=45°.
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD,
则CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45°,BD=AF;
∵∠2=45°,
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,
∴∠DCE=∠2.
,
∴△ECF≌△ECD(SAS),
∴EF=DE.
∵∠5=45°,
∴∠DBE=90°,
∴,即:,故②错误;
综上,有两个结论正确,
故选:C;
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交⊙O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G.
(1)求证:直线GA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=GDBD;
(3)若tan∠AGB=,PG=6,求cos∠P的值.
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【题目】在全球关注的抗击“新冠肺炎”中某跨国科研中心的一个团队研制了一种助治“新冠附炎”的新药,在试验药效时发现,如果成人按规定的制量服用,那么服药后2小时血液中含药量最高,达每毫升8微克(1微克=毫克),接着逐步安减,10小时时血液中含药最为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示.
(1)分别求线段所表示的函数关系式;
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的,那么这个有效时间是多长?
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【题目】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
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【题目】如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正东方向,有一艘小船停在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向,BP=6km.
(1)求A、B两观测站之间的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向前行,求观测站B与小船的最短距离.
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【题目】为更精准地关爱留守学生,某学校将留守学生的各种情形分成四种类型:A.由父母一方照看;B.由爷爷奶奶照看;C.由叔姨等近亲照看;D.直接寄宿学校.某数学小组随机调查了一个班级,发现该班留守学生数量占全班总人数的20%,并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图.
(1)该班共有 名留守学生,B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)已知该校共有2400名学生,现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动,请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益?
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【题目】某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“雾霾知多少”的专题调查括动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查的结果分为“A.非常了解”、“B.比较了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四个等级,将所得数据进行整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图表,请你结合图表中的信息解答下列问题
等级 | A | B | C | D |
频数 | 40 | 120 | 36 | n |
频率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形统计图中,A部分所对应的扇形的圆心角是 °,所抽取学生对丁雾霾了解程度的众数是 ;
(3)若该校共有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人数约为多少?
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【题目】学校为了解全校学生参加社会实践活动情况,随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间(单位:天),并用得到的数据绘制了统计图(1)和图 (2). 请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1) 本次随机调查的学生人数是_______,图(1)中m的值是_______;
(2)求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数;
(3)该校有480名学生,根据获取的社会实践活动时间样本数据,估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数.
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