Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′，若QA-QB=，求点Q的坐标和此时△QAA′的面积．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C（0，3）代入该解析式y=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（如图1）

（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P₁，点P₁关于x轴的对称点为点P₂，点P₁、点P₂均为所求点．（如图2）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x=2上．
∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=x上．
∴点E的坐标为E（2，2）．
∴由勾股定理得 EA=．
∴EP₁=EA=．
∴点P₁的坐标为P₁（2，2+）．
由对称性得点P₂的坐标为P₂（2，-2-）．
∴符合题意的点P的坐标为P₁（2，2+）、P₂（2，-2-）．

（3）∵点B、D的坐标分别为B（3，0）、D（2，-1），
可得直线BD的解析式为y=x-3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，（如图3）
若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三点在一条直线上．
∵QA-QB=，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=．
作A'N⊥x轴于点N．
∵点Q在线段BD上，Q，B，A'三点在一条直线上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴点A'的坐标为A'（4，1）．
∵点Q在线段BD上，
∴设点Q的坐标为Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由两点间的距离公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²．
解得x=．
经检验，x=在2＜x＜3的范围内．
∴点Q的坐标为Q（，-）．
此时S_△QAA'=S_△A'AB+S_△QAB=•AB•（|y_A'|+|y_Q|）=×2×（1+）=．
分析：（1）首先将已知的抛物线解析式进行配方，得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标，由OB=OC的条件能得到C点坐标，利用待定系数法即可确定函数的解析式．
（2）此题需要进行适当转化，首先作△ABC的外切圆，根据圆周角定理可知：P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点（相关字母参考解答图，下同），那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标．首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长，而弦BC的垂直平分线过点E，由此可确定该中垂线的解析式，进一步可确定点E的坐标；然后在Rt△AEF中，通过解直角三角形可得到圆的半径长，由此求出全部条件．
（3）A、A′关于角平分线对称，那么QA、QA′也关于该角平分线对称，即QA=QA′，那么QA-QB的长其实就是AB的长，可由这个条件入手解答；易知点D、B的坐标，能求出∠ABD的度数（或相关三角函数值），过A′作A′N⊥x轴，在构建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度数已求出，可得到BN、A′N的长，即可求出A′的坐标和直线A′B的解析式，然后设出点Q坐标，表示出AQ、A′Q的长，以这两条线段相等作为等量条件求出点Q的坐标．进一步以AB为底、点A′、Q的纵坐标的差的绝对值为高可求出△AQA′的面积．
点评：这道二次函数题由于融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识，使得难度增加不少；（2）题中，将角相等转化为圆的相关问题是打开解题突破口的关键，应注意并总结转化思想在解题中的妙用．