Question

如图，△ABC中，∠A=90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列结论：①∠DIF=45°；②CF+BE=BC；③AE+AF=2AH；④S_{四边形BEDC}=2S_△IBC，其中正确的结论为

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠BIC=135°，再求出∠CID=45°，然后求出∠DIF=45°，判断出①正确；延长FI交BC于G，利用“角边角”证明△CIG和△CIF全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，再求出∠BIE=∠BIG=45°，然后利用“角边角”证明△BIG和△BIE全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BE，再根据CG+BG=BC等量代换即可得到CF+BE=BC，判断出②正确；过点G作GM⊥AB于M，连接EF、EG，根据全等三角形对应边相等可得IE=IG，然后求出∠IEG=45°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EG=EF，再求出∠EGM=∠AEF，然后利用“角角边”证明△AEF和△MGE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=ME，再根据AM=AE+EM等量代换，IH⊥AB整理，判断出③正确；求出EF∥BD，根据平行线间的距离相等，利用等底等高的三角形的面积相等可得S_△IED=S_△IFD，然后求出S_△CDE=S_△CID+S_△IED，再求出S_△BIE+S_△CED=S_△IBC，然后求出S_{四边形BEDC}=2S_△IBC，判断出④正确．

解答：解：∵∠A=90°，角平分线BD、CE交于点I，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-45°=135°，
∴∠CID=45°，
∵IF⊥IC，
∴∠DIF=45°，故①正确；
延长FI交BC于G，
在△CIG和△CIF中，

∠ACE=∠BCE CI=CI ∠CIF=∠CIG=90°

，
∴△CIG≌△CIF（ASA），
∴CG=CF，
∵∠BIE=∠CID=45°，∠BIG=∠DIF=45°，
∴∠BIE=∠BIG=45°，
在△BIG和△BIE中，

∠BIE=∠BIG BI=BI ∠ABD=∠CBD

，
∴△BIG≌△BIE（ASA），
∴BG=BE，
∵CG+BG=BC，
∴CF+BE=BC，故②正确；
过点G作GM⊥AB于M，连接EF、EG，
∵△BIG≌△BIE，
∴IE=IG，
∴∠IEG=45°，
∵CE垂直平分FG，
∴EG=EF，
∵∠FEG=∠IEG+∠IEF=45°+45°=90°，
∴∠EGM+∠MEG=∠AEF+∠MEG=90°，
∴∠EGM=∠AEF，
在△AEF和△MGE中，

∠EGM=∠AEF ∠A=∠EMG=90° EG=EF

，
∴△AEF≌△MGE（AAS），
∴AF=ME，
∵AM=AE+EM，
∵IG=IF，IH⊥AB，
∴AM=2AH，
∴AE+AF=2AH，故③正确；
∵∠IEG=∠BIE=45°，
∴EF∥BD，
∴S_△IED=S_△IFD，
∴S_△CDE=S_△CID+S_△IED，
∴S_△BIE+S_△CED=S_△IBC，
∴S_{四边形BEDC}=2S_△IBC，故④正确．
综上所述，结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．