Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；

（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE的长是6；

tan∠AFE的值为，GD长为

【解析】（1）连接DO，并延长交⊙O于点P，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE=∠DAF，

∴，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，D是半径OD的外端，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵DP是直径，

∴∠DFP=90°，

∴∠P+∠PDF=90°，

∵∠FDC+∠PDF=90°，

∴∠P=∠FDC=∠DAF=∠DAE，

∵四边形AEDF内接于圆，

∴∠AED=∠DFC，

∴△AED∽△DFC，

∴，

∵，

∴DE=DF，

∴DE2=AE×CF=9×4=36，

∴DE=6；

（3）如图，过E点作EH⊥AD于H点，

∵∠BAC=60°，

∴∠DAE=∠BAC=30°，

∴EH=AE=，

由勾股定理得，AH=，DH=，

∴tan∠AFE=tan∠ADE=；

AD=+

∵，

∴∠EAD=∠DEF，

又∠EDA=∠GDE，

∴△EDA∽△GDE，

∴，

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