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【题目】如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q同时从点A出发,在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设△DPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,四边形PCDQ是平行四边形?
(3)分别求出当t为何值时,①PD=PQ,②DQ=PQ.

【答案】(1)解:直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BC=21,AB=12,AD=16,
依题意AQ=t,BP=2t,则DQ=16﹣t,PC=21﹣2t,
过点P作PE⊥AD于E,
则四边形ABPE是矩形,PE=AB=12,
∴SDPQ=DQAB=(16﹣t)×12=﹣6t+96.
(2)当四边形PCDQ是平行四边形时,PC=DQ,
∴21﹣2t=16﹣t解得:t=5,
∴当t=5时,四边形PCDQ是平行四边形.
(3)∵AE=BP=2t,PE=AB=12,
①当PD=PQ时,QE=ED=QD,
∵DE=16﹣2t,
∴AE=BP=AQ+QE,即2t=t+16﹣2t,
解得:t=
∴当t=时,PD=PQ
②当DQ=PQ时,DQ2=PQ2
∴t2+122=(16﹣t)2解得:t=
∴当t=时,DQ=PQ

【解析】(1)SQDP=DQAB,由题意知:AQ=t,DQ=AD﹣AQ=16﹣t,将DQ和AB的长代入,可求出S与t之间的函数关系式;
(2)当四边形PCDQ为平行四边形时,PC=DQ,即16﹣t=21﹣2t,可将t求出;
(3)当PD=PQ时,可得:AD=3t,从而可将t求出;当DQ=PQ时,根据DQ2=PQ2即:t2+122=(16﹣t)2可将t求出.

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