Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，延长BC至点E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥AD于点F，再延长EF交AB于点M．

（1）若D为BC的中点，AB＝4，求AD的长；

（2）求证：BM＝CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC＝2，根据勾股定理即可得到结论；

（2）过M作MH⊥BC于H，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根据余角的性质得到∠AME＝∠EAM，根据全等三角形的性质得到CD＝MH，于是得到结论．

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，

∴AC＝BC＝2，

∵D为BC的中点，

∴CD＝BC＝，

∴；

（2）过M做MH⊥BC于H，连接AE，

∵AC⊥BE，CD＝CE，

∴AE＝AD，

∴∠EAC＝∠DAC，

∵EF⊥AD，

∴∠EFD＝∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，

∴∠CAD＝∠DEF，

∴∠EAC＝∠DEF，

∴∠EAC＝∠DEF，

∵∠AME＝∠B+∠BEM，∠EAM＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，

∴∠AME＝∠EAM，

∴AE＝EM，

∴AD＝EM，

∵∠ACD＝∠EHM＝90°，

∴△ACD≌△EHM（AAS），

∴CD＝MH，

∴BM＝MH＝CD．