【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.
(1)若“路线”l的表达式为y=2x﹣4,它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1,求“带线”L的表达式;
(2)如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(3)设(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.
【答案】(1)“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4;(2)m=2,n=﹣2;(3)点P的坐标为(, ).
【解析】试题分析:
(1)由“路线l”的表达式为:y=2x-4可得,“路线l”与y轴交于点(0,-4);把x=-1代入y=2x-4可得y=-6,由此可得“带线L”的顶点坐标为(-1,-6),结合“带线L”过点(0,-4)即可求得“带线L”的解析式;
(2)由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“带线L”的顶点坐标为(1,-1),与y轴交于点(0,m-1),把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得m、n的值;
(3)如图,由(2)可知,若设“带线L”的顶点为B,则点B坐标为(1,﹣1),过点B作BC⊥y轴于点C,连接PA并延长交x轴于点D,由⊙P与“路线”l相切于点A可得PD⊥l于点A,由此证Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得点D的坐标,结合点A的坐标即可求得AD的解析式为y=x+1,由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组,解方程组即可求得点P的坐标.
试题解析:
((1)∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1,且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4
∴y=2×(﹣1)﹣4=﹣6,
∴“带线”L的顶点坐标为(﹣1,﹣6).
设L的表达式为y=a(x+1)2﹣6,
∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为(0,﹣4)
∴“带线”L也经过点(0,﹣4),将(0,﹣4)代入L的表达式,解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2(x+1)2﹣6=2x2+4x﹣4;
(2)∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为(0,1),
∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为(0,1),解得m=2,
∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1,其顶点坐标为(1,﹣1)
∴直线y=nx+1经过点(1,﹣1),解得n=﹣2;
(3)如图,设“带线L”的顶点为B,则点B坐标为(1,﹣1),过点B作BC⊥y轴于点C,
∴∠BCA=90°,
又∵点A 坐标为(0,1),
∴AO=1,BC=1,AC=2.
∵“路线”l是经过点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A,连接PA交 x轴于点D,
∴PA⊥AB,
∴∠DAB=∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠DAO=90°,
又∵∠DAO+∠BAC=90°,
∴∠ADO=∠BAC,
∴Rt△AOD≌Rt△BCA,
∴OD=AC=2,
∴D点坐标为(﹣2,0)
∴经过点D、A的直线表达式为y=x+1,
∵点P为直线y=x+1与抛物线L:y=2x2﹣4x+1的交点,
解方程组: 得 : (即点A舍去), ,
∴点P的坐标为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知 AD 为△ABC 的高线,AD=BC,以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE,连接 ED, EC,延长CE 交AD 于F 点,下列结论:①△ADE≌△BCE;②CE⊥DE;③BD=AF;④S△BDE=S△ACE,其中正确的有( )
A. ①③B. ①②④C. ①②③④D. ②③④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分8分)某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个,且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料?
(2)如果制作甲、乙两种包装盒3000个,且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍,那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式,并求出最少需要多少米材料。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分10分)
问题提出:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
问题探究:不妨假设能搭成种不同的等腰三角形,为探究之间的关系,我们可以从特殊入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论.
探究一:
用3根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形。所以,当时,
用4根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形
所以,当时,
用5根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当时,
用6根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当时,
综上所述,可得表①
3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 0 | 1 | 1 |
探究二:
用7根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并把结果填在表②中)
分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
7 | 8 | 9 | 10 | |
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,……
解决问题:用根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(设分别等于、、、,其中是整数,把结果填在表③中)
问题应用:用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(要求写出解答过程)
其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。(只填结果)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE= ,∠EAF=135°,则以下结论正确的是( )
A. DE=1 B. tan∠AFO= C. AF= D. 四边形AFCE的面积为
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C任作一射线CM,交AB于M,分别过A,B作AE⊥CM,BF⊥CM,垂足分别为E,F.
(1)求证:∠ACE=∠CBF;
(2)求证:AE=CF;
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高,内容丰富,某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛,对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级,并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息,回答下列问题:
(1)扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度,并将条形统计图补充完整.
(2)此次比赛有四名同学活动满分,分别是甲、乙、丙、丁,现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛,请用列表法或画树状图法,求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革,为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:
(1)获得一等奖的学生人数;
(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com