Question

如图，过点C（0，-2）的抛物线y=ax²+bx+c的顶点M坐标为（2，-3），过点C作CB∥x轴交抛物线于点B，点P在线段BC上，CP=m．
（1）求B点坐标，并用含m的代数式表示PB的长；
（2）点A，Q分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP为边，点A，C，P，Q为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q坐标；
（3）是否存在m值，使△MBP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由C与B关于抛物线的对称轴x=2对称，C（0，-2），可得B点坐标为（4，-2），那么BC=4，再根据PB=BC-CP可用含m的代数式表示PB的长；
（2）分两种情况进行讨论：①当CP为一边时，CP∥AQ，则点Q为抛物线与x轴的交点坐标；②当CP为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；
（3）先由M、B、P三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB²=5，MP²=（m-2）²+1，BP=4-m．再分三种情况进行讨论：①由MP=MB列出方程（m-2）²+1=5，解方程求出m的值；②由MP=BP列出方程（m-2）²+1=（4-m）²，解方程求出m的值；③由BP=MB列出方程（4-m）²=5，解方程求出m的值．

解答：解：（1）∵C与B关于抛物线的对称轴x=2对称，C（0，-2），
∴B点坐标为（4，-2），
∵CP=m，
∴PB=BC-CP=4-m；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点M坐标为（2，-3），
∴y=a（x-2）²-3，
将C（0，-2）代入，得a（0-2）²-3=-2，
解得a=

1

4

，
∴y=

1

4

（x-2）²-3，即y=

1

4

x²-x-2．
∴当y=0时，

1

4

（x-2）²-3=0，解得x=2±2

3

，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）．
点P在线段BC上，CB∥x轴，CP有两种可能：
①当CP为一边时，CP∥AQ，则点Q坐标为（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）；
②当CP为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知A点、Q点到直线BC的距离相等，
∵C点的纵坐标为-2，即点A到直线BC的距离为2，
∴点Q到直线BC的距离也为2，即Q点纵坐标为-4，
∵抛物线的顶点M坐标为（2，-3），
∴这样的Q点不存在．
综上所述，所有符合条件的点Q坐标坐标为（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）；

（3）∵M（2，-3），B（4，-2），P（m，-2），
∴MB²=（4-2）²+（-2+3）²=5，MP²=（m-2）²+（-2+3）²=（m-2）²+1，BP=4-m．
当△MBP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果MP=MB，那么（m-2）²+1=5，解得m₁=0，m₂=4（不合题意舍去），
所以m=0；
②如果MP=BP，那么（m-2）²+1=（4-m）²，解得m=

11

4

，
所以m=

11

4

；
③如果BP=MB，那么（4-m）²=5，解得m₁=4-

5

，m₂=4+

5

（不合题意舍去），
所以m=4-

5

；
综上所述，所有符合条件的m值为0或

11

4

或4-

5

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．