Question

将抛物线y=x²向下平移后，设它与x轴的两个交点分别为点A，B，且抛物线的顶点为点C．
（1）若△ABC为等边三角形，求此抛物线的函数表达式；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，求此抛物线的函数表达式；
（3）若将抛物线改为y=ax²，以上两个问题怎么解答；
（4）若抛物线改为y=a（x-m）²呢？
（5）由此，你发现了什么规律？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）（2）设抛物线与x轴的左边交点为A，右边交点为B，顶点坐标为（0，-p），然后表示出点A、B的坐标，再根据等边三角形和等腰直角三角形的性质列式计算求出p，即可得解；
（3）（4）思路同上求出点A、B的坐标，再根据等边三角形和等腰直角三角形的性质求解；
（5）根据计算结果解答．

解答：解：设抛物线与x轴的左边交点为A，右边交点为B，顶点坐标为（0，-p），
则平移后抛物线解析式为y+p=x²，
当y=0时，x=±

p

，
所以，点A（-

p

，0），B（

p

，0），
（1）△ABC为等边三角形，则∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p

，
解得p=3．
所以，函数解析式为y=x²-3；

（2）△ABC为等腰直角三角形，则∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p

，
解得p=1，
所以，函数解析式为y=x²-1；

（3）将抛物线改为y=ax²，则平移后抛物线解析式为y+p=ax²，
当y=0时，x=±

p a

，
所以，点A（-

p a

，0），B（

p a

，0），
若△ABC为等边三角形，则∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p a

，
解得p=

3

a

，
所以，函数解析式为y=ax²-

3

a

；
若△ABC为等腰直角三角形，则∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p a

，
解得p=

1

a

，
所以，函数解析式为y=ax²-

1

a

；

（4）将抛物线改为y=a（x-m）²，则平移后抛物线解析式为y+p=a（x-m）²，
当y=0时，x=m±

p a

，
所以，点A（m-

p a

，0），B（m+

p a

，0），
若△ABC为等边三角形，则∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p a

，
解得p=

3

a

，
所以，函数解析式为y=a（x-m）²-

3

a

；
若△ABC为等腰直角三角形，则∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p a

，
解得p=

1

a

，
所以，函数解析式为y=a（x-m）²-

1

a

；

（5）由计算可知，若△ABC为等边三角形，则平移的距离为

3

a

，
若△ABC为等腰直角三角形，则平移距离为

1

a

．

点评：此题主要考查了二次函数的平移规律，熟练利用平移规律得出是解题关键．