Question

已知二次函数y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2的图象过点（0，5）．
（1）求a的值，并写出二次函数的解析式；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，点P是抛物线上位于x轴下方的一个动点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）将（0，5）代入y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2即可得出a，从而得出二次函数的解析式；
（2）求得抛物线和x轴的两个交点坐标，再设出P点坐标，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，由顶点坐标求得△ABP面积的最大值．

解答：解：（1）将（0，5）代入y=（a-2）x²+（a+3）x+a+2得，a+2=5，
解得a=3；
故二次函数的解析式为y=x²+6x+5；
（2）令y=0，得x²+6x+5=0，
解得x₁=-1，x₂=-5，
∴A（-1，0），B（-5，0），
∴AB=4，
设点P（x，x²+6x+5），
∴S=

1

2

AB•|y_P|=-

1

2

×4×x²+6x+5=-2x²-12x-10，
∴S_最大=

4ac-b2

4a

=

80-144

-8

=8，
∴△ABP面积的最大值为8．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择合适的二次函数模型．