Question

【题目】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（-2,4）△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H.

(1) 求直线BD的解析式；

(2) 求△BCF的面积；

(3) 点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x＋；（2）；（3）存在， 或或

【解析】试题分析：（1）由B点坐标（-2,4），可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；

（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；

（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

试题解析：（1）B点坐标（-2,4），

∴BC=2，OC=4，

∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，

∴D（4，0），

设直线BD解析式为y=kx+b，

把B、D坐标代入可得，解得，

∴直线BD的解析式为y=；

（2）由（1）可知E（4，2），

设直线OE解析式为y=mx，

把E点坐标代入可求得m=，

∴直线OE解析式为y=x，

令-=x，解得x=，

∴H点到y轴的距离为，

又由（1）可得F（0， ），

∴OF=，

∴S△OFH=×=；

（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，

∴△DFM为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，

则有△MOF∽△FOD，

∴，即，解得OM=，

∴M（-，0），且D（4，0），

∴G（，0），

设N点坐标为（x，y），则， ，

解得x=，y=-，此时N点坐标为（，-）；

②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

则有△FOD∽△DOM，

∴，即，解得OM=6，

∴M（0，-6），且F（0， ），

∴MG=MF=，则OG=OM-MG=6-=，

∴G（0，-），

设N点坐标为（x，y），则,，

解得x=-4，y=-，此时N（-4，-）；

③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，

∵四边形MFND为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，

可求得N（4， ）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（， ）或（-4，-）或（4， ）．