Question

如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交于点B、A，若∠COB=45°，∠OBC=75°，点A的坐标为（0，2），求⊙O′的直径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：连接AB，由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°，所以AB是圆的直径，利用三角形的内角和定理易求∠C=60°，再根据圆周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°，从而直角三角形AOB可解，求出AB的长即可．

解答：解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是圆的直径，
∵∠BOC=45°，∠OBC=75°，
∴∠OCB=60°
∴∠OAB=∠OCB=60°，
∵A点坐标为（0，2），
∴AO=2．
在Rt△AOB中，cos60°=

AO

AB

，
∴AB=

2

1 2

=4，
∴⊙O′的直径AB长度为4．

点评：本题考查了三角形的内角和定理运用、圆周角定理的运用以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，并且利用圆周角定理确定AB是圆的直径，是一道不错的圆的综合性题目．