【题目】如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,CE=2,求EF的长.
【答案】
(1)解:∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAF+∠FAC=90°,
∵∠D=∠BAF,∠AOD=∠FAC,
∴∠D+∠AOD=90°,
∴∠OAD=90°,
∴AD是⊙O的切线;
(2)解:连接BF,
∴∠FAC=∠AOD,
∴△ACE∽△DCA,
∴ ,
∴ ,
∴AC=AE= ,
∵∠CAE=∠CBF,
∴△ACE∽△BFE,
∴ ,
∴ = ,
∴EF= .
【解析】(1)由BC是⊙O的直径,得到∠BAF+∠FAC=90°,等量代换得到∠D+∠AOD=90°,于是得到结论;(2)连接BF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°. ①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
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【题目】如图所示,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形.
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.
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【题目】解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得;
(2)解不等式②,得;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
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【题目】为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于( )
A.10m
B.12m
C.12.4m
D.12.32m
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【题目】如图,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3 ,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.
(1)线段DC=;
(2)求线段DB的长度.
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【题目】已知点A(﹣2,1),B(1,4),若反比例函数y= 与线段AB有公共点时,k的取值范围是( )
A.﹣2≤k≤4
B.k≤﹣2或k≥4
C.﹣2≤k<0或k≥4
D.﹣2≤k<0或0<k≤4
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