Question

【题目】已知，抛物线y＝ax2﹣4ax+2a（a≠0）

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，请依据a的取值情况直接写出y1与y2的大小关系；

（3）若矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，﹣4），E（5，﹣4），F（5，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝2；（2）当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2；（3）a＜﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜2或a＞4．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式求得即可；

（2）根据二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向和增减性，判断点A、B离对称轴的远近，得出相应的函数值的大小关系，分为开口向上和开口向下两种情况进行分析解答；

（3）分两种情况，即a＞0和a＜0两种情况，根据抛物线的对称轴x＝2，与x轴的交点（2﹣，0）和（2+，0），画出相应图形，分情况解答即可．

解：（1）对称轴为x＝﹣＝2，

答：抛物线的对称轴为直线x＝2；

（2）抛物线y＝ax2﹣4ax+2a＝a（x﹣2）2﹣2a，

因此，抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣2a），

①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点在第四象限，

∵﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，

∴根据横坐标离对称轴x＝2的远近程度可得，y1＞y2；

②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点在第一象限，

∵﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，

∴根据横坐标离对称轴x＝2的远近程度可得，y1＜y2；

故有，当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2；

（3）当y＝0时，即ax2﹣4ax+2a＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣，

∴抛物线与x轴的交点坐标为A（2﹣，0），B（2+，0）

①当a＜0时，如图1，顶点M（2，﹣2a）在第一象限，

Ⅰ）当顶点M在CD下方时，有0＜﹣2a＜2，解得﹣1＜a＜0，

Ⅱ）当顶点M在CD上方时，必须是抛物线左侧与CD的交点在点C的上方，

当抛物线过点C（1，2）时，a﹣4a+2a＝2，解得，a＝﹣2，此时M（2，4），

∴﹣2a＞4，

解得a＜﹣2；

②当a＞0时，如图2，顶点M（2，﹣2a）在第四象限，

Ⅰ）当顶点M在DE上方时，有﹣4＜﹣2a＜0，

解得0＜a＜2，

Ⅱ）当顶点M在DE下方时，必须是抛物线左侧与CD的交点在点D的下方，

当抛物线过点D（1，﹣4）时，a﹣4a+2a＝﹣4，

解得a＝4，此时M（2，﹣8），

∴﹣2a＜﹣8，

解得a＞4；

综上所述，当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点）时，a的取值范围为a＜﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜2或a＞4．