Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，2∠CED＝∠AED，点G是DF的中点

（1）求证：∠CED＝∠DAG；

（2）若AG＝4，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4．

【解析】

（1）根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CED＝∠ADE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG＝DG，然后根据等边对等角求出∠DAG＝∠ADE，从而得证；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠DAG，然后求出∠AED＝∠AGE，根据等角对等边可得AE＝AG．

解：

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE，

又∵点G是DF的中点，

∴AG＝DG，

∴∠DAG＝∠ADE，

∴∠CED＝∠DAG；

（2）在△ADG中，∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠DAG，

又∵∠AED＝2∠CED，

∴∠AED＝∠AGE，

∴AE＝AG，

∵AG＝4，

∴AE＝4．