Question

【题目】 如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB=6，BC=8，当△DEF为直角三角形时，CN的长为______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

△DEF为直角三角形时，可能出现三种情况，分别令不同的内角为直角，画出相应的图形，根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可．

解：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴BD==10，

由折叠得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN，

当△DEF为直角三角形时，

（1）当∠DEF=90°，则∠BEN=∠FEN=45°，不合题意；

（2）当∠EFD=90°时，如图1所示：

∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，

∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，

∵tan∠DBC===tan∠CDF=

设CN=x，则BN=NF=8-x，FC=x-（8-x）=2x-8，

∴=

解得：x=，即CN=．

（3）当∠EDF=90°时，如图2所示：

易证△BDC∽△DFC，

∴CD2=BCCF

设CN=x，则BN=NF=8-x，FC=（8-x）-x=8-2x，

∴62=8（8-2x）

解得：x=，即CN=，

综上所述，CN的长为或．

故答案为：或．