Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1，4)，且经过点N(2，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

(2)若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

(3)直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点．是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)； (2)四边形CDAN是平行四边形，证明见解析；(3)存在，m=

【解析】

(1)根据顶点式设抛物线解析式为()2+4，将N(2，3)代入求，确定抛物线解析式，根据抛物线解析式求点A、B、C的坐标；
(2)根据M、C两点坐标求直线解析式，得出D点坐标，求线段AD，由C、N两点坐标可知CN∥轴，再求CN，证明CN与AD平行且相等，判断断四边形CDAN是平行四边形；
(3)存在．如图设T(，)，Q(，)，分别过T、Q作TF⊥轴，QG⊥轴，联立直线TQ解析式与抛物线解析式，可得，，，之间的关系，当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOF∽△QOG，利用相似比得出线段关系，结合，，，之间的关系求m的值．

(1)抛物线的顶点坐标为M(1，4)，设抛物线解析式为)2+4，
将N(2，3)代入，得(2-1)2+4=3，解得，
∴抛物线解析式为)2+4，即，
令，得，则点C的坐标为(0，3)，
令，得

解得：或3，则点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)；

(2)四边形CDAN是平行四边形．
理由：

将点C(0，3)，M(1，4)，代入直线中，得，
解得，

∴直线CM解析式为，则点D的坐标为(-3，0)，
∵C(0，3)，N(2，3)，

∴CN∥x轴，且，
又∵A(-1，0)，D(-3，0)，

∴AD=-1-(-3)=2，
∴四边形CDAN是平行四边形；

(3)存在．
如图设T(，)，Q(，)，分别过T、Q作TF⊥轴，QG⊥轴，

联立，

整理得，
∴，，
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，
∴∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
∴∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
∴△TOF∽△QOG，

∴，即，

∴，即，
整理得：，
∴，整理，得，
解得，

故存在实数使以线段TQ为直径的圆过坐标原点．